Por: Alfonso Padilla Vivanco
En la primavera de 1798, el general Napoleón Bonaparte emprende una campaña militar rumbo a Egipto. Su flota zarpa desde el puerto de Toulon con más de 300 buques y navíos. Era la época de la Francia revolucionaria regida por el Directorio. Después de algunas semanas de travesía, la armada Napoleónica desembarca en el puerto de Alejandría, ciudad ubicada en el delta del Nilo y al norte de Egipto. Esta metrópoli portuaria, que fue fundada por Alejandro Magno, albergó una de las bibliotecas más importantes del mundo antiguo; la que floreció bajo la influencia de los Ptolomeos. La célebre biblioteca de Alejandría atesoró miles de libros, algunos de éstos fueron obra de filósofos y científicos; como Euclides, Eratóstenes de Cirene, Arquímedes de Siracusa, Aristarco de Samos y la matemática y astrónoma Hypatia; entre otras grandes mentes del mundo antiguo, quienes visitaron o vivieron en la Alejandría de esa época. No se sabe con certeza en qué año fue destruido o quemado el acervo de la Biblioteca de Alejandría. Para cuando Napoleón y su ejército llegan a la metrópolis egipcia, prácticamente, la Bibliotheca Alexandrina ya no existía.
La expedición francesa en Egipto no solo fue militar, si no también científica. Más de 160 hombres de ciencia desembarcaron acompañando al general corso en la tierra de los faraones. Todos ellos formaron parte de la Commission des Sciences et des Arts (Comisión de Ciencias y Artes) y más tarde del Instituto de Egipto. Se trataba de un grupo multidisciplinario, en el que había arquitectos, mecánicos, astrónomos, anticuarios, pintores, matemáticos, ingenieros, médicos, compositores, filósofos, farmacéuticos, geógrafos y algunos profesionales más. Las investigaciones generadas por todos ellos, durante tres años de arduo trabajo, se compilaron en una obra que en su primera edición fue de 23 libros o tomos. La compilación llevó por nombre en idioma francés: Description de L’Égypte ou Recueil des Observations et des Recherches qui ont été faites en Égypte pendant l’Éxpédition de l’Armée Française (Descripción del Egipto o Recopilación de las Observaciones e Investigaciones que fueron hechas en Egipto durante la expedición de la Armada Francesa). Esta gran obra fue impresa en París, en el año 1809, por la imprenta imperial. Se dice que la Descripción del Egipto, representa el nacimiento de la egiptología.
El encargado de dirigir la recopilación de todo lo investigado, fue el matemático Jean-Baptiste Joseph Fourier (marzo de 1768 a mayo de 1830). Sin embargo, el legado de Joseph Fourier es mucho más amplío que la valiosa recopilación de los tesoros milenarios de Egipto. Hoy día, él es más conocido por el método que introdujo en la Física Matemática para resolver ecuaciones diferenciales, particularmente, la ecuación diferencial de difusión del calor. El método de Fourier está basado en la representación de una señal periódica s(t), como la suma de funciones sinusoidales del tipo: a*sen(1wt), b*sen(2wt), c*sen(3wt),…,d*cos(1wt), e*cos(2wt), f*cos(3wt)…, siendo w la frecuencia fundamental de la señal. Como se puede observar dentro del paréntesis de cada función, existe un número que puede ser 1, 2 o 3, o incluso uno mayor y no necesariamente entero. Este valor permite que cada función seno o coseno, tenga frecuencia diferente. La suma de estas funciones sinusoidales, que dependen de la variable t, forman una Serie de Fourier de una señal dada s(t). Un ejemplo sencillo de una expansión en serie de Fourier para esta señal usando unos cuantos términos, se puede obtener mediante la expresión matemática: s(t)=a*sin(t)+b*sin(2t)+c*sin(3t)+d*cos(t)+e*cos(2t)+f*cos(3t). Para ello, también se requiere que cada función seno o coseno sea previamente multiplicada por un factor numérico conocido. A ese factor se le suele llamar peso o coeficiente. En el caso anterior cada función sinusoidal mencionada tiene su respectivo peso dado por: a, b, c, d, e ó f. Este método propuesto por Fourier, permite que una señal eléctrica s(t) pueda ser dividida en sus frecuencias componentes. O varias frecuencias componentes puedan ser sumadas, y así obtener una señal de salida. Esto es lo que algunos sintetizadores de música realizan digitalmente.
En la época de Fourier, el cálculo de los valores de los coeficientes a, b, c, d, e, f…, requería de mucho esfuerzo algebraico por parte de los matemáticos, y en la medida que se incrementaba el número de frecuencias componentes que se deseaba sintetizar, más complicados se volvían esos cálculos. El proceso de encontrar los valores de los coeficientes se realiza mediante una integral, que de forma genérica es conocida como: Transformada de Fourier. Este método quedó por más de 100 años olvidado, por ser muy complicado de llevar a cabo; mediante el uso exclusivo de lápiz y papel.
En la década de los sesentas del siglo XX, en los centros de desarrollo tecnológico e investigación, ya contaban los científicos con las primeras computadoras comerciales. Por lo que dos matemáticos americanos, James Cooley y John Tukey; implementan un algoritmo numérico para el cálculo de la transformada rápida de Fourier o como se conoce en inglés: the Fast Fourier transform (FFT). Con ello, se volvió viable la síntesis digital de señales. Se dice también que Carl Friedrich Gauss ya había propuesto el mismo algoritmo 160 años antes que Cooley y Tukey. Como consecuencia de este logro numérico, las aplicaciones se extendieron a señales espaciales y al ámbito de las imágenes discretas, como las fotografías que una cámara digital comercial puede capturar. Esta herramienta matemática propuesta por Fourier y rediseñada numéricamente para ordenador por los científicos Cooley y Tukey, es la base matemática más universal que existe, para el procesamiento digital de información en el formato de imágenes o señales. Con aplicaciones a la Electrónica, la Medicina, las señales en Geofísica, las Finanzas, entre otras ciencias. La sismología y la ingeniería sísmica hacen uso también del análisis de Fourier para la interpretación de señales detectadas por los sismógrafos.
Los usos de la FFT son realmente impresionantes y existen muy pocas áreas de la ciencia e ingeniería en donde no se aplique esta herramienta computacional. Las aplicaciones de la FFT van desde las señales de un electrocardiograma hasta las señales que llegan del espacio exterior, enviadas por las sondas espaciales que han recorrido el Sistema Solar. Diversas aplicaciones de la FFT se han usado en diferentes áreas de la Física, a saber Mecánica Cuántica, Óptica, Termodinámica, Electromagnetismo y Acústica. La implementación del algoritmo de la FFT y sus variantes para mejorar el tiempo de ejecución llegaron acompañadas de los lenguajes de programación de alto nivel, así como la capacidad de procesamiento y almacenamiento de datos de las modernas computadoras. Sin duda que el análisis de Fourier ha contribuido al desarrollo tecnológico, y por consecuencia al bienestar social, a la salud, a la música y a las telecomunicaciones. Seguramente que, el científico Joseph Fourier habría deseado saber cuántos beneficios alcanzó su gran aportación matemática a la tecnología usada hoy día.
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