Por: Alfonso Padilla Vivanco
Desde la mitad del siglo XX a la fecha, la teoría de probabilidades ha venido aportando soluciones en ciencias exactas, ingeniería, finanzas y otras áreas del conocimiento. Aunque su historia se remonta al siglo XVI fue hasta el siglo XX que los científicos e ingenieros se dieron cuenta plenamente de que la naturaleza y el mundo real sólo pueden describirse exhaustivamente mediante las leyes que gobiernan su aleatoriedad.
Los inicios de la teoría de la probabilidad se remontan al Liber de ludo aleae (El libro de los juegos de azar), escrito alrededor de 1526 por Gerolamo Cardano (1501-1576); se cree que esta obra fue publicada hasta 1663. Cardano, famoso por las ecuaciones cúbicas, no sólo fue matemático, ingeniero y médico, sino también un apasionado jugador. El número π aparece con bastante frecuencia en la teoría de la probabilidad, como ocurre en todas las ramas de las matemáticas superiores; pero en ningún lugar su apariencia es más fascinante que en un problema planteado y resuelto por George Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788). Buffon fue un hábil matemático y científico que sorprendió al mundo de su época al estimar la edad de la Tierra en más de 75 mil años, debido a que en el siglo XVIII se creía que ésta no tenía más de unos 6 mil años. Los geólogos han calculado que, en realidad, la edad de la Tierra es de unos 4 mil 540 millones de años.
Lo que permitió que Buffon pasará a la historia fue el planteamiento de un problema en el año 1733 y éste fue el siguiente: Supongamos que se lanza al azar una aguja de longitud L, sobre un plano que está colocado en una mesa o en el piso. Este plano está previamente formado de líneas rectas y paralelas; separadas éstas a una distancia d, dónde d>L. Entonces, ¿Cuál es la probabilidad de que la aguja al caer se cruce con una de estas líneas? Buffon propuso una solución a este problema usando la siguiente metodología. Primero supuso que después de caer la aguja sobre el plano se tendría a “x” como cualquier posición del centro de la aguja a cualquier línea paralela más cercana, así cómo cualquier orientación (ángulo, φ) de la aguja respecto de la misma paralela. Por lo que se tendrían valores igualmente probables para x y φ; además supuso que estas dos variables aleatorias serían independientes. El procedimiento para obtener una solución, no es realmente muy complicado, pero fue en su momento muy sorprendente. La solución propuesta por Buffon y por lo que más tarde otros matemáticos de épocas más cercanas, lo retomaron fue: π*d/2=2*L/ π*d. ¿Qué hacía el número π en la solución? Esa era la sorpresa. El problema del lanzamiento de la aguja sobre las rectas paralelas, era un problema de probabilidad básicamente. Hoy sabemos que el número irracional, π, se ha convertido en un número ubicuo de las matemáticas.
Más tarde, Pierre Simon Laplace (1749-1827), quien es conocido por ser autor de dos obras maestras, Mecánica celeste y Teoría analítica de probabilidades (en francés: Mecanique céleste et Théorie analytique des probabilities), retoma el problema propuesto por Buffon. Por cierto que, la primera obra de Laplace fue el mayor trabajo sobre mecánica celeste publicado desde los Principia de Newton, aquí Pierre Simón incluyó muchas técnicas matemáticas nuevas, tales como la teoría del potencial. Sobre su segunda gran obra matemática, Théorie analytique, ésta es la base de la teoría de la probabilidad moderna. Teniendo entre muchas nuevas técnicas matemáticas a la transformada integral, que es hoy día, de gran utilidad para ingenieros en sistemas y para los analistas de circuitos eléctricos. En cuanto a la solución de Buffon al problema de la aguja, Laplace encuentra una expresión matemática similar dada por: π=2*L/d*P. En está nueva expresión vuelve a aparecer el número, π, ahora con P, la probabilidad de intersección de la aguja con alguna de las líneas paralelas. Con esto, sin embargo, Laplace había descubierto un poderoso método de computación que no se hizo realidad hasta la llegada de la computadora electrónica. El método que propuso Laplace consiste en encontrar un valor numérico realizando un evento aleatorio muchas veces y observando su resultado experimentalmente.
En marzo de 1947 el físico polaco Stanisław Ulam retoma todas estas ideas y propone un método conocido hoy día como: método de Monte Carlo (Monte Carlo, es un barrio en Mónaco, es cómo Las Vegas europeo), este método numérico tiene muchas aplicaciones que van desde los análisis económicos hasta los que se realizan en física nuclear. Tomemos el ejemplo del cálculo de π, con el método de Monte Carlo, usando una computadora actual, la cual puede lanzar fácilmente una aguja 1000 veces por segundo. Literalmente no lo hace así, pero se puede programar para seleccionar un número aleatorio (x) para la posición de la aguja y otro (φ) para su orientación, de esa forma simular el lanzamiento de la aguja. También se puede programar para observar si la aguja ha cruzado o no a alguna paralela virtual. Finalmente, la computadora se programa para registrar el número de intersecciones en el número total de lanzamientos, y luego se calcula el valor resultante mediante la fórmula π=2*L/d*P. Un programa de este tipo se puede realizar usando entornos de desarrollo comercial como: Matlab o Phyton.
Para que el resultado sea lo más correcto posible, se debe cumplir que la orientación de la aguja se distribuya uniformemente entre 0° y 180°. Sin embargo siempre se producen errores debido a una serie de redondeos sucesivos. Incluso si se corrigieran éstos, el resultado seguiría siendo deficiente, como lo predice el cálculo de la probabilidad de obtener k decimales correctos en una serie de lanzamientos. Aunque el método de Monte Carlo no es muy eficiente para calcular el valor de π, si es muy poderoso en otros usos, tales como cálculo de volúmenes, áreas, entre otras aplicaciones. Los hombres que nos enseñaron a programar ordenadores electrónicos de esta forma, fueron Buffon y Laplace. Sus computadoras no eran ni electrónicas ni digitales. Eran computadoras analógicas que constaban de una aguja y una hoja de papel rayado.
Para aficionados a la computación y las matemáticas, recomiendo ver un par de interesantes videos:
Universidad Politécnica de Tulancingo. alfonso.padilla@upt.edu.mx
